Question

如圖所示，AC=BC=1，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，CE∥PA，PA=2CE=2．
（Ⅰ）求三棱錐E-PAB的體積；
（Ⅱ）在棱PB上是否存在一點F，使得EF∥平面ABC？證明你的結論．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）利用V_E-PAB=V_B-PAE，求三棱錐E-PAB的體積；
（Ⅱ）取棱PB的中點為F，則有EF∥平面ABC，利用線面平行的判定定理證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵AC=BC=1，PA=2，
∴V_E-PAB=V_B-PAE=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

 
（Ⅱ）取棱PB的中點為F，則有EF∥平面ABC．證明如下：
取棱AB的中點為G，連接EF，FG，GC，則FG∥PA，FG=1
∵EC∥PA，CE=1，
∴FG∥CE，FG=EC，
因此四邊形EFGC為平行四邊形，
∴EF∥CG，
∵EF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴EF∥平面ABC

點評：本題考查直線與平面平行的判定，錐體體積的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，轉化思想，是中檔題．