Question

【題目】動點在圓： 上運動，定點，線段的垂直平分線與直線的交點為．

（Ⅰ）求的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點的直線， 分別交軌跡于， 兩點和， 兩點，且．證明：過和中點的直線過定點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用線段的中垂線的性質和橢圓的定義判定動點的軌跡為橢圓，再求其軌跡方程；（Ⅱ）先利用直線的特殊情況探索直線過定點，再聯立直線和橢圓方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系和中點坐標公式進行求解．

試題解析：（Ⅰ）連接，根據題意，可知，則，

故點的軌跡為以、為焦點，長軸長為4的橢圓，則， ，

∴，

所以點的軌跡的方程為．

（Ⅱ）分別設直線和的中點為、，當直線斜率不存在或為0時，分析可知直線與軸重合，當直線的斜率為1時，此時， ，直線的方程為，聯立解得直線經過定點．

下面證明一般性：當直線的斜率存在且不為0,1時，設直線的方程為，

則直線的方程為，設， ，

聯立消去得，

則，所以，

即，同理： ，

于是直線的斜率為，

故直線的方程為，

顯然時， ，故直線經過定點．