Question

【題目】如圖，在梯形中， ， ， ，平面平面，四邊形是矩形， ，點在線段上.

（1）當為何值時， 平面？證明你的結論；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）當時，根據三角形相似及平行線的性質可證明是矩形，從而得四邊形是平行四邊形，所以，進而根據相面平行的性質可得結論；（2）以點為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面的一個法向量、平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：（1）當時， 平面，證明如下：

在梯形中，設，連接，

因為， ，

所以，又，

因為∽,

因此，

所以，因為是矩形，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，

又平面， 平面，

所以平面；

（2）在平面內過點作，

因為平面平面，且交線為，

則平面，即， ，

以點為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，

則， ， ， ，

所以， ， ， ，

設平面的法向量為，則，

∴，取，

同理可得平面的法向量，

所以，

因為二面角是銳角，所以其余弦值是.