Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°PA⊥平面，PA=4，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC
（Ⅱ）求二面角P-BD-A的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）分別在Rt△ABD和Rt△ABC求得tan∠ABD和tan∠BAC的值，分別求得∠ABD和∠ABC，進而求得∠AEB=90，推斷出AC⊥BD，進而根據線面垂直的性質和PA⊥平面ABCD推斷出PA⊥BD，最后根據線面垂直的判定定理推斷出BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）連結PE，由PA⊥平面ABCD，AE⊥BD，推斷出PE⊥BD，進而可知∠PEA為二面角P-BD-A的平面角，Rt△ABE中求得AE，進而在Rt△APE中求得tan∠AEP，則∠AEP可求．

解答： （Ⅰ）證明：在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3

，
∴∠ABD=30°，
在Rt△ABC中，tan∠BAC=

BC

AB

=

3

，
∴∠ABC=60°，
∴∠AEB=180°-∠ABC-∠ABD=90°，即AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AC∩AP=A，AC?平面APC，AP?平面APC，
∴BD⊥平面PAC
（Ⅱ）連結PE，∵PA⊥平面ABCD，AE⊥BD，
∴PE⊥BD，即∠PEA為二面角P-BD-A的平面角，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AE=

1

2

AB=

3

，
在Rt△APE中，tan∠AEP=

AP

AE

=

4

3

=

4 3

3

，
∴∠AEP=arctan

4 3

3

．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應用，二面角的計算．解題的關鍵是找到二面角的平面角．