Question

【題目】已知函數f（x）=（2﹣a）lnx+ +2ax（a∈R）．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＜0時，求f（x）單調區間；
（Ⅲ）若對任意a∈（﹣3，﹣2）及x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意知f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=0時，f（x）=2lnx+ ，f′（x）= ﹣ = ，
令f′（x）=0，解得x= ，
當0＜x＜ 時，f′（x）＜0；
當x≥ 時，f′（x）＞0
又∵f（ ）=2﹣ln2
∴f（x）的極小值為2﹣2ln2，無極大值．
（Ⅱ）f′（x）= ﹣ +2a=
當a＜﹣2時，﹣ ＜ ，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣ 或x＞ ，
令f′（x）＞0 得﹣ ＜x＜ ；
當﹣2＜a＜0時，得﹣ ＞ ，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜ 或x＞﹣ ，
令f′（x）＞0 得 ＜x＜﹣ ；
當a=﹣2時，f′（x）=﹣ ≤0，
綜上所述，當a＜﹣2時f（x），的遞減區間為（0，﹣ ）和（ ，+∞），遞增區間為（﹣ ， ）；
當a=﹣2時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；
當﹣2＜a＜0時，f（x）的遞減區間為（0， ）和（﹣ ，+∞），遞增區間為（ ，﹣ ）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當a∈（﹣3，﹣2）時，f（x）在區間[1，3]上單調遞減，
當x=1時，f（x）取最大值；
當x=3時，f（x）取最小值；
|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3+ +6a]= ﹣4a+（a﹣2）ln3，
∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，
∴（m+ln3）a﹣2ln3＞ ﹣4a+（a﹣2）ln3
整理得ma＞ ﹣4a，
∵a＜0，∴m＜ ﹣4恒成立，
∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣ ＜ ﹣4＜﹣ ，
∴m≤﹣
【解析】（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2lnx+ ，求導，令f′（x）=0，解方程，分析導數的變化情況，確定函數的極值；（Ⅱ）當a＜0時，求導，對導數因式分解，比較兩根的大小，確定函數f（x）單調區間；（Ⅲ）若對任意a∈（﹣3，﹣2）及x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函數f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求實數m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．