Question

在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，直線l：y=

3

與橢圓C相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設AB是橢圓C上兩個動點，點P（-1，

3

2

）滿足

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4且λ≠2），求直線AB的斜率．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由直線l：y=

3

與橢圓C相切，可得b，利用離心率為

1

2

，可得

c

a

=

1

2

，又a²-b²=c²=1，聯立解得a²，b²即可；
（2）設直線y=kx+m，與橢圓方程聯立可得根與系數的關系，再利用向量運算和向量相等即可得出．

解答： 解：（1）∵直線l：y=

3

與橢圓C相切，∴b=

3

，
∵離心率為

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
又a²-c²=b²=3，聯立解得a²=4，b²=3．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設直線y=kx+m，代入橢圓方程，化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直線AB與橢圓有兩個不同的交點，∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化為3+4k²-m²＞0．（*）
∴x₁+x₂=-

8km

3+4k2

．
∵滿足

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2），
∴x₁+x₂+2=λ，y₁+y₂-3=-

3

2

λ，
又y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k（x₁+x₂）+2m，
∴（k+

3

2

）（x₁+x₂）+2m=0，
∴（k+

3

2

）×（-

8km

3+4k2

）+2m=0，
化為m（2k-1）=0，
若m=0，則直線AB經過原點，此時

PA

+

PB

=2

PO

，λ=2，不符合題意，因此m≠0．
∴2k-1=0，解得k=

1

2

．

點評：本題中考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的運算與相等等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．