Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=8，AC=AB=5，BC=6，點A₁在底面ABC的投影是線段BC的中點O，在側棱AA₁上存在一點E，且OE⊥B₁C．
（1）證明：OE⊥面BB₁C₁C．
（2）求出AE的長；
（3）求二面角A₁-B₁C-C₁的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用線面垂直的判定定理；（2）證明Rt△A₁OA，OE⊥AA₁，由射影定理可求；（3）向量法解決．

解答： （1）證明：∵點A₁在底面ABC的投影是線段BC的中點O，
∴A₁O⊥面ABC，BC?面ABC，∴A₁O⊥BC，
又∵AC=AB=5，線段BC的中點O，
∴BC⊥AO，A₁O∩AO=O，
∴BC⊥面A₁OA，EO?面A₁OA，EO⊥BC，又∵OE⊥B₁C，B₁C∩BC=C，B₁C?面BB₁C₁C，BC?面BB₁C₁C
，∴OE⊥面BB₁C₁C；
（2）解：∵AA₁=8，AC=AB=5，BC=6，線段BC的中點O，
∴AO⊥BC，∴AO=4，由（1）知A₁O⊥面ABC，AO?面ABC，
∴A₁O⊥AO，
Rt△A₁OA，由（1）知，OE⊥面BB₁C₁C．BB₁?面BB₁C₁C，
∴OE⊥BB₁，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁∥BB₁，
∴OE⊥AA₁，∴OA²=AE•AA₁，∴AE=2；
（3）分別以OC、OA、OA₁為x、y、z軸建立空間坐標系，C（3，0，0），A₁（0，0，4

3

），A（0，4，0），B（-3，0，0），
∵

AB

=

A1B1

，∴B₁（-3，-4，4

3

），
∵

AA1

=

CC1

，∴C₁（3，-4，4

3

），

CA1

=（-3，0，4

3

），

CB1

=（-6，-4，4

3

），

CC1

=（0，-4，4

3

），
設面A₁B₁C的法向量

m

=（x，y，z），

m • CA1 =0 m • CB1 =0

，取

m

=（1，-

3

4

，

3

4

），設面，C₁B₁C的法向量

n

=（x，y，z），

n • CB1 =0 n • CC1 =0

，取

n

=（0，

3

，1），
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

21

14

，由圖知，二面角A₁-B₁C-C₁的大小為arccos

21

14

點評：本題考查空間直線和平面位置關系的確定；線段的長度；還考查了二面角大小求解，本題具有建立空間直角坐標系的良好空間特征，故用向量法為宜．