Question

【題目】對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“類函數”.

（1）已知函數，試判斷是否為“類函數”？并說明理由；

（2）設是定義在上的“類函數”，求是實數的最小值；

（3）若 為其定義域上的“類函數”，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數是“類函數”；（2）；（3）.

【解析】試題分析：(1) 由，得整理可得滿足

(2) 由題存在實數滿足，即方程在上有解.令分離參數可得，設求值域，可得

取最小值

(3) 由題即存在實數，滿足，分， ， 三種情況討論可得實數m的取值范圍.

試題解析：（1）由，得：

所以

所以存在滿足

所以函數是“類函數”，

（2）因為是定義在上的“類函數”，

所以存在實數滿足，

即方程在上有解.

令

則，因為在上遞增，在上遞減

所以當或時， 取最小值

（3）由對恒成立，得

因為若 為其定義域上的“類函數”

所以存在實數，滿足

①當時， ，所以，所以

因為函數（）是增函數，所以

②當時， ，所以，矛盾

③當時， ，所以，所以

因為函數 是減函數，所以

綜上所述，實數的取值范圍是

點睛:已知方程有根問題可轉化為函數有零點問題，求參數常用的方法和思路有：

(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成函數的值域問題解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一個平面直角坐標系中，畫出函數的圖像，然后數形結合求解.