Question

【題目】已知一條曲線C在y軸右側，曲線C上任意一點到點的距離減去它到y軸的距離都等于1.

（1）求曲線C的方程；

（2）直線與軌跡C交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在定點，使得直線與關于x軸對稱而與直線的位置無關，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）直接根據題意得到方程化簡得到答案.

（2）設，，聯立方程，根據韋達定理得到根與系數關系，計算，化簡整理得到答案.

（1）設是曲線C上任意一點，那么點滿足：，

化簡得，又因為曲線C在y軸右側，故，

所以曲線C方程為：.

（2）在x軸上存在定點使得直線與關于x軸對稱而與位置無關.

理由如下：

設直線與曲線C的交點坐標為，，

由，消去x，整理得，，

由韋達定理得，，.

假設存在點，使得直線與關于x軸對稱而與位置無關，

則對任意實數m恒成立，即對任意實數m恒成立，

而，所以，

所以，又，所以.

故當對任意實數m，，

即在x軸上存在點，使得直線與關于x軸對稱而與位置無關.