Question

【題目】已知是定義域為的偶函數，對，有，且當時，，函數.現給出以下命題：①是周期函數；②的圖象關于直線對稱；③當時，在內有一個零點；④當時，在上至少有六個零.其中正確命題的序號為________.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據，有，利用周期函數的定義判斷；②根據是定義域為的偶函數，有，再結合判斷；③令，即，在同一坐標系中作出，用數形結合法判斷；④在同一坐標系中作出，用數形結合法判斷.

①因為對，有，所以是周期函數，故正確；

②因為是定義域為的偶函數，所以，又因為對，有，所以，即，所以的圖象關于直線對稱，故正確；

③當時，令，

即，在同一坐標系中作出

的圖象如圖所示：

所以在內無零點，故錯誤；

④當時，令，

在同一坐標系中作出，

的圖象如下圖所示：

，

而，

當時，與至少有三個交點，

與為偶函數，

與至少有六個交點，

所以在上至少有六個零點，故正確.

所以正確命題的序號為①②④

故答案為：①②④