Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，

（1）求證：；

（2）若四邊形為正方形，為正三角形，M是的中點，求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點為N，通過線線垂直證明平面，即可推出，利用等腰三角形三線合一的性質即可得證；（2）首先證明為正三棱錐，過點作平面，則O為正的中心，取上靠近點C的三等分點為E，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點為N，在中，，所以,

又，且，所以，

，平面，，所以平面，

又平面，所以，

所以在中，由及的中點為N，得.

（2）由四邊形為正方形，得，

由為正三角形，得，所以

又由（1）知，所以為正三棱錐，

過點作平面，則O為正的中心，取上靠近點C的三等分點為E，

則，，兩兩垂直，分別以射線，，為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，

設，則，，

，，，，，，，

，

設平面的法向量，

則，取，得，

設平面的法向量，

則，所以，取，得

，

設二面角為，因為為鈍角，所以，

即所求的二面角的余弦值為.