Question

【題目】已知

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)求證：

Answer 1

【答案】（1）極小值，無(wú)極大值；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出，進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間，即可求解；

（2）求出的單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè).要證，即證，在單調(diào)遞減，即證，又，即證，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而求出的單調(diào)性，即可證明結(jié)論；

或利用，將用表示，代入，等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，即證，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)方法，即可證明結(jié)論.

（1），，.

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以有極小值，無(wú)極大值.

（2）.

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

依題意，，不妨設(shè).

方法一：設(shè)，，在單調(diào)遞增，

所以，，

所以，

又，，在單調(diào)遞減，

所以.即得結(jié)論.

方法二：依題意，，

也即，可得，

要證，即證，

即證，

即證，

設(shè)，則即證.

構(gòu)造函數(shù)，，

再設(shè)，則，

在單調(diào)遞減，，即，

在單調(diào)遞增，，.

即得結(jié)論.