Question

【題目】已知函數f（x）在定義域R上的導函數為f′（x），若方程f'（x）=0無解，且f[f（x）﹣2017x]=2017，當g（x）=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣ ， ]上與f（x）在R上的單調性相同時，則實數k的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣1]
B.（﹣∞， ]
C.[﹣1， ]
D.[ ，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：若方程f'（x）=0無解， 則 f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）為R上的單調函數，
x∈R都有f[f（x）﹣2017x]=2017，
則f（x）﹣2017x為定值，
設t=f（x）﹣2017x ， 則f（x）=t+2017x ， 易知f（x）為R上的增函數，
∵g（x）=sinx﹣cosx﹣kx，
∴ ，
又g（x）與f（x）的單調性相同，
∴g（x）在R上單調遞增，則當x∈[﹣ ， ]，g'（x）≥0恒成立，
當 時， ， ，
，
此時k≤﹣1，
故選A．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．