Question

【題目】如圖，在一旅游區內原有兩條互相垂直且相交于點O的道路l1，l2，一自然景觀的邊界近似為圓形，其半徑約為1千米，景觀的中心C到l1，l2的距離相等，點C到點O的距離約為10千米.現擬新建四條游覽道路方便游客參觀，具體方案：在線段OC上取一點P，新建一條道路OP，并過點P新建兩條與圓C相切的道路PM，PN（M，N為切點），同時過點P新建一條與OP垂直的道路AB（A，B分別在l1，l2上）.為促進沿途旅游經濟，新建道路長度之和越大越好，求新建道路長度之和的最大值.（所有道路寬度忽略不計）

Answer 1

【答案】千米

【解析】

設PCM＝，用表示出各道路長，并求出和.然后求導，用導數知識求得最大值．

解：連接CM，設PCM＝，則PC＝，PM＝PN＝tan，

OP＝OC﹣PC＝10﹣，AB＝2OP＝20﹣，

設新建的道路長度之和為，

則，

由1＜PC≤10得≤＜1，設，(0，)，

則(0，]，，，令得

設，(0，]，，，的情況如下表：

	(0，)		(，)
	＋	0	－
	單調遞增	極大值	單調遞減

由表可知時有極大值也是最大值，此時，，，

.

答：新建道路長度之和的最大值為千米.