Question

【題目】已知函數，，且與的圖象有一條斜率為1的公切線（e為自然對數的底數）.

（1）求；

（2）設函數，證明：當時，有且僅有2個零點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據導數的幾何意義，分別求出函數圖象上斜率為1的切線，再根據切線方程為同一方程即可求出；

（2）根據第一問結果可得，，求導，換元，令，通過二次函數知識判斷的符號，得其單調性，求出極值，再結合零點存在性定理即可求出．

（1）令，可得，.

在處的切線方程為，即.

令，，，

在處的切線方程為，即，

故，

可得.

（2）證明：由（1）可得，

，

令，則，，

當時，有兩根，且，

由，得，

在上，，在上，，

此時，.

又時，，時，.

故在和上，各有1個零點.

所以時，有2個零點.