Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為邊長為2的菱形，平面，，，為棱上一點，且.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）

【解析】

（1）由平面得，又底面為菱形可得，則平面，從而；

（2）設菱形的對角線交點為，以為原點，分別以、的方向為，軸建立空間直角坐標系，借助空間向量求出平面法向量的夾角，從而求出答案；

（3）由圖可知，由題意可知三棱錐的高為，由此可求出答案．

解：（1）因平面，故，

又因底面為菱形，故，

又，平面，

∴平面，

而平面，

∴；

（2）設菱形的對角線交點為，因，平面，

以為原點，分別以、的方向為，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

∴，，

，，

∴平面和平面的一個法向量分別為，，

∴，

由圖可知二面角的平面角為銳角，

∴二面角的余弦值為．

（3）由圖可知，，

因，可知三棱錐的高為，

∴．