Question

【題目】函數在區間上的最小值記為．

（1）當時，求函數在區間上的值域；

（2）求的函數表達式；

（3）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）將代入函數的解析式，利用二次函數的性質求出函數在區間上的最大值和最小值，從而可得出此時函數在區間上的值域；

（2）對二次函數的對稱軸與區間的位置關系進行分類討論，分析函數在區間上的單調性，可得出函數在區間上的最小值的表達式；

（3）求出分段函數在每一段定義域上的值域，可得出該函數的最大值.

（1）當時，，

當時，函數取最小值，即；

當時，函數取最大值，即.

因此，函數在區間上的值域為；

（2）①當時，函數的對稱軸，

此時，函數在區間上單調遞增，則；

②當時，函數的對稱軸，

此時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

則；

③當時，函數的對稱軸，

此時，函數在區間上單調遞減，則．

綜上所述，；

（3）①當時，；

②當時，；

當時，．

由①②③可知．