Question

若數列{b_n}：對于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數），則稱數列{b_n}是公差為d的準等差數列．設數列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．
（1）求證：{a_n}為準等差數列，并求其通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₆₃＞2014，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）因為對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n…①，所以a_n+1+a_n+2=2（n+1）…②，②-①，可得a_n+2-a_n=2，據此證明{a_n}為準等差數列，然后分n為奇數和n為偶數兩種情況，求出其通項公式即可；
（2）首先根據{a_n}的通項公式，求出它的前63項和S₆₃，是一個含有a的算式；然后根據S₆₃＞2014，解不等式，求出a的取值范圍即可．

解答： 解：（1）因為對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n…①，
所以a_n+1+a_n+2=2（n+1）…②，
②-①，可得a_n+2-a_n=2，
因此{a_n}為公差是2的準等差數列；
當n為奇數時，an=a+(

n+1

2

-1)×2=n+a-1，
當n為偶數時，an=2-a+(

n

2

-1)•2=n-a，
∴an=

n+a-1，(n為奇數) n-a，(n為偶數)

；
（2）在S₆₃=a₁+a₂+…+a₆₃中，有32個奇數項和31個偶數項，
∴S₆₃=32（a-1）+（1+3+…+63）+（2+4+…+62）-31a=1984+a，
∵S₆₃＞2014，
∴1984+a＞2014，
∴a＞30．

點評：本題主要考查了準等差數列的通項公式，以及等差數列的求和公式的綜合應用，屬于中檔題，解答此題的關鍵是正確理解新定義和分類討論的思想．