Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

xex+1

，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求其最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

ex(xex+1)-ex(xex+1)′

(xex+1)2

=

ex(1-ex)

(xex+1)2

，
由f′（x）=

ex(1-ex)

(xex+1)2

＞0得1-e^x＞0，解得x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=

ex(1-ex)

(xex+1)2

＜0得1-e^x＜0，解得x＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是最大值f（0）=1，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0]，減區(qū)間是[0，+∞），
函數(shù)的最大值是1，無(wú)最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和最值的求解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．