Question

已知函數f（x）=ae^x+b在（0，f（0））處切線為x-y+1=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），x₁＜x₂，k表示直線AB的斜率，求證：f′（x₁）＜k＜f（x₂）．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f（x）=ae^x+b，f′（x）=ae^x，得a的值，從而求出b，進而f（x）的表達式；
（2）證明：由（1）得f′（x）=e^x，即證ex1＜

ex1-ex2

x1-x2

＜ex2，即證1＜

ex2-x1-1

x2-x1

＜ex2-x1，令t=x₂-x₁，則t＞0，這樣只需證明1＜

et-1

t

＜e^t（t＞0），即t＜e^t-1＜te^t設g（t）=e^t-t-1，得g′（t）=e^t-1，從而h（t）在（0，+∞）也是在增函數，從而證明了t＜e^t-1＜te^t成立，問題解決．

解答： 解（1）f（x）=ae^x+b，f′（x）=ae^x，
∴由f′（0）=1得a=1
把x=0代入x-y+1=0得y=1，
即f（0）=1，
∴b=0，
∴f（x）=e^x．
（2）證明：由（1）得f′（x）=e^x，
∴證明f′（x₁ ）＜k＜f′（x₂ ）即證ex1＜

ex1-ex2

x1-x2

＜ex2，
各項同除以ex1，即證1＜

ex2-x1-1

x2-x1

＜ex2-x1，
令t=x₂-x₁，則t＞0，這樣只需證明1＜

et-1

t

＜e^t（t＞0），
即t＜e^t-1＜te^t
設g（t）=e^t-t-1，g′（t）=e^t-1，
∵t＞0，∴g′（t）＞0，即g（t）在（0，+∞）上是增函數
∴g（t）＞g（0）=0，即e^t-1＞t，
設h（t）=（t-1）e^t+1，h′（t）=e^t+（t-1）e^t=te^t＞0，
∴h（t）在（0，+∞）也是在增函數
h（t）＞h（0）=0，即te^t＞e^t-1，
從而證明了t＜e^t-1＜te^t成立，
∴f′（x₁ ）＜k＜f′（x₂）成立．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，不等式的證明，換元思想，是一道綜合題．