Question

設F是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，O為原點，M是拋物線C上位于第一象限內的內的點，Q為過O、M、F三點的圓的圓心，點Q到拋物線C的準線的距離為

3

4

，直線MQ與拋物線C相切于點M．
（1）求拋物線C的方程及點M的坐標；
（2）設直線l：y=kx+

1

4

與拋物線C相交于A、B兩點，與圓Q相較于D、B兩點，問：當k取何值時|AB|×|DE|的值最小？并求出這個最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）通過F（0，

p

2

），圓心Q在線段OF平分線y=

p

4

上，推出p=1，由此能求出拋物線C的方程．設M（x₀，

x02

2

），滿足條件，拋物線C在點M處的切線的斜率為函數的導數，求出Q的坐標，再利用|QM|=|OQ|，求出M點坐標．
（2）（Ⅱ）⊙Q的方程為(x-

5 2

8

)2+(y-

1

4

)2=

27

32

．由

y= 1 2 x2 y=kx+ 1 4

，整理得2x²-4kx-1=0．由此求出|AB|²=（1+k²）（4k²+2）．由

(x- 5 2 8 )2+(y- 1 4 )2= 27 32 y=kx+ 1 4

，整理得（1+k²）x²-

5 2

4

x-

1

16

=0，由此求出|DE|²=

25

8(1+k2)

+

1

4

，從而能求出當k=0時，|AB|×|DE|的值最小，最小值是

3 3

2

．

解答： 解：（1）由題意可知F（0，

p

2

），
圓心Q在線段OF平分線y=

p

4

上，
因為拋物線C的標準方程為y=-

p

2

，
所以

3p

4

=

3

4

，即p=1，
因此拋物線C的方程x²=2y．
設點M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）滿足條件，
拋物線C在點M處的切線的斜率為
y′| x=x0=（

x2

2

）′| x=x0=x₀．
令y=

1

4

得，x_Q=

x0

2

+

1

4x0

，
所以Q（

x0

2

+

1

4x0

，

1

4

），
又|QM|=|OQ|，
故（-

x0

4

+

1

4x0

）²+（

1

4

-

x02

2

）²=（

x0

2

+

1

4x0

）²+

1

16

，
因此（

1

4

-

x02

2

）²=

9

16

．又x₀＞0．
所以x₀=

2

，此時M（

2

，1）．
（Ⅱ）當x₀=

2

時，由（Ⅰ）知Q（

5 2

8

，

1

4

），⊙Q的半徑為：r=

( 5 2 8 )2+( 1 4 )2

=

3 6

8

．所以⊙Q的方程為(x-

5 2

8

)2+(y-

1

4

)2=

27

32

．
由

y= 1 2 x2 y=kx+ 1 4

，整理得2x²-4kx-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-

1

2

，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
由

(x- 5 2 8 )2+(y- 1 4 )2= 27 32 y=kx+ 1 4

，整理得（1+k²）x²-

5 2

4

x-

1

16

=0，
設D，E兩點的坐標分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△=

k2

4

+

27

8

＞0，x₃+x₄=

5 2

4(1+k2)

，x₃x₄=-

1

16(1+k2)

．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=

25

8(1+k2)

+

1

4

，
所以|AB|²×|DE|²=（1+k²）（4k²+2）×[

25

8(1+k2)

+

1

4

]
=

25(4k2+2)

8

+

(1+k2)(4k2+2)

4

=k⁴+14k²+

27

4

．
∴k²=0時，|AB|²×|DE|²取最小值

27

4

，
∴當k=0時，|AB|×|DE|的值最小，最小值是

3 3

2

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，拋物線的標準方程，拋物線的簡單性質，設而不求的解題方法，弦長公式的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．