Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=3，S_n和S_n+1滿足等式S_n+1=

n+1

n

S_n+n+1．
（Ⅰ）求證：數列{

Sn

n

}是等差數列；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b_n=a_n•2 an，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由S_n+1=

n+1

n

S_n+n+1，兩邊同除以n+1，可得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，即可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）S_n．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出數列{a_n}的通項，再利用錯位相減法，可求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵S_n+1=

n+1

n

S_n+n+1，
∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，
∴數列{

Sn

n

}是以3為首項，1為公差的等差數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得

Sn

n

=3+n-1=n+2，
化為S_n=n²+2n．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
又a₁=3也滿足．
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1．
∴b_n=a_n•2 an=（2n+1）•2²ⁿ⁺¹．
∴T_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，
∴4T_n=3•2⁵+5•2⁷+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺³，
兩式相減，整理可得T_n=(

2

3

n-

1

3

)•22n+3+

40

3

．

點評：數熟練掌握等差數列的定義、通項公式、錯位相減法及其利用“當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，”求a_n的方法等是解題的關鍵．