Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2﹣4x+c的值域為[0，+∞）．
（1）判斷此函數的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷此函數在[ ，+∞）的單調性，并用單調性的定義證明你的結論；
（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由二次函數f（x）=ax2﹣4x+c的值域為[0，+∞），得a＞0且 ，

解得ac=4．

∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，從而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），

∴此函數是非奇非偶函數

（2）解：函數的單調遞增區間是[ ，+∞）．設x1、x2是滿足 的任意兩個數，從而有 ，∴ ．又a＞0，∴ ，

從而 ，

即 ，從而f（x2）＞f（x1），∴函數在[ ，+∞）上是單調遞增

（3）解：f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0， ，x∈[1，+∞）

當 ，即0＜a≤2時，最小值g（a）=f（x0）=0

當 ，即a＞2時，最小值

綜上，最小值

當0＜a≤2時，最小值g（a）=0

當a＞2時，最小值

綜上y=g（a）的值域為[0，+∞）

【解析】（1）由二次函數f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判斷f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函數是非奇非偶函數．（2）求出函數的單調遞增區間．設x1、x2是滿足 的任意兩個數，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判斷函數是單調遞增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，當 ，即0＜a≤2時，當 ，即a＞2時求出最小值即可．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減即可以解答此題．