Question

【題目】如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）．規劃在公路上選兩個點，，并修建兩段直線型道路，，規劃要求：線段，上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑．已知點，到直線的距離分別為和（，為垂足），測得，，（單位：百米）．

（1）若道路與橋垂直，求道路的長；

（2）在規劃要求下，和中能否有一個點選在處？并說明理由；

（3）在規劃要求下，若道路和的長度均為（單位：百米），求當最小時，、兩點間的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2），中不能有點選在點，理由詳見解析；（3）.

【解析】

(1) 設BD與圓O交于M，連接AM，以C為坐標原點，l為x軸，建立直角坐標系，利用兩直線垂直的條件得直線BP的方程,求解點P的坐標,再由兩點間距離公式即可求解PB的長;

（2）當QA⊥AB時，QA上的所有點到原點O的距離不小于圓的半徑，設此時Q（x2，0），運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求得Q的坐標，即可得到結論；

（3）設P（a，0），Q（b，0），則，，結合條件分析，可得b的最小值，由兩點的距離公式，計算可得PQ．

設與圓交于，連接，

為圓的直徑，可得，

即有，，，

以為坐標原點，為軸，建立直角坐標系，則，，.

（1）設點，，

則，

即，

解得，所以，；

（2）當時，上的所有點到原點的距離不小于圓的半徑，設此時，

則，即，解得，，

由，在此范圍內，不能滿足，上所有點到的距離不小于圓的半徑，

所以，中不能有點選在點；

（3）設，，由（1）（2）可得，，

由兩點的距離公式可得，

當且僅當時，取得最小值15，

又，則，當最小時，，，．