Question

【題目】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,所有棱長均為2，∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°.

（1）求證:A1C⊥B1D1；

（2）求對角線AC1的長；

（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據題意，先證明B1D1⊥平面A1ACC1，再根據線面垂直推證線線垂直即可；

（2）由平面推證出為直角三角形，再用勾股定理求解即可；

（3）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再根據向量夾角的求解公式，即可求得.

（1）證明：∵在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱長均為2，

∴AD1=AB1=2，連結A1C1，B1D1，交于點O，連結AO，如下圖所示：

∵∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°.∴AO⊥B1D1，

∵四邊形A1B1C1D1為正方形，∴B1D1⊥A1C1，

∴B1D1⊥平面A1ACC1，

∵A1C平面A1ACC1，

∴B1D1⊥A1C.

（2）在△AB1D1中，AO

又，AA1=2，

∴，∴AO⊥A1O，

∵AO⊥B1D1，∴AO⊥平面A1B1C1D1，

∴AO⊥OC1，

∴AC12.

（3）由（2）知AO⊥平面A1B1C1D1，

以點O為原點，OA1為x軸，OB1為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，

A(0,0,)，B1(0,,0)，C1(,0,0)，

(0,)，(,0,)，

設平面AB1C1的法向量

則，

取x=1，得(1,﹣1,﹣1)，

平面AB1D1的法向量(1,0，0)，

設二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角為θ，

則cosθ.

∴二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值為.