Question

【題目】設O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.

（1）求點P的軌跡方程；

（2）設點在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.

Answer 1

【答案】(1) .(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）轉移法求軌跡：設所求動點坐標及相應已知動點坐標，利用條件列兩種坐標關系，最后代入已知動點軌跡方程，化簡可得所求軌跡方程；（2）證明直線過定點問題，一般方法是以算代證：即證，先設 P（m，n），則需證，即根據條件可得，而，代入即得.

試題解析：解：（1）設P（x，y），M（）,則N（），

由得.

因為M（）在C上，所以.

因此點P的軌跡為.

由題意知F（-1,0），設Q（-3，t），P（m，n），則

，

.

由得-3m-+tn-=1，學&科網又由（1）知，故

3+3m-tn=0.

所以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.

點睛:定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒成立的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現.