Question

【題目】已知a＞1，b＞0，且a+2b=2，則 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】4（1+ ）
【解析】解：∵a+2b=2，∴a﹣1=1﹣2b，

∴ + = + ，

設 + =t，

則2b+（2﹣2b）（1﹣2b）=tb（1﹣2b），

故（4+2t）b2﹣（4+t）b+2=0，

①4+2t=0時，t=﹣2，

故（4﹣2）b+2=0，解得：b=1，

a+2b=2，得a+2=2，故a=0，與a=1不符，

故4+2t≠0；

②4+2t≠0時，得t≠﹣2，

由（4+2t）b2﹣（4+t）b+2=0，

由△≥0，得（4+t）2﹣4（4+2t）﹣2≥0，

故t2﹣8t﹣16≥0，解得：t≤4﹣4 （舍）或t≥4+4 ，

故 的最小值為4（1+ ），

故答案為：4（1+ ）．

求出a﹣1=1﹣2b，設 + =t，得到（4+2t）b2﹣（4+t）b+2=0，通過討論①4+2t=0，②4+2t≠0的情況，求出t的最小值即 的最小值即可．