Question

【題目】已知表示不小于的最小整數，例如.

（1）設,,若，求實數的取值范圍；

（2）設，在區間上的值域為，集合中元素的個數為，求證：；

（3）設（），，若對于，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）在區間上單調遞增，得到的取值集合為，根據題意計算得到答案.

（2）當時，，得到在上函數值的個數為個，計算得到，再計算極限得到證明.

（3）計算得到，并且當時取等號，故，恒成立，討論和兩種情況，分別計算得到答案.

（1）因為在區間上單調遞增，所以

進而的取值集合為

由已知可知在上有解，因此

（2）當時，，

所以的取值范圍為區間

進而在上函數值的個數為個，

由于區間與沒有共同的元素，

所以中元素個數為，得

因此，

（3）由于，

所以，并且當時取等號，

進而時，

由題意對任意，恒成立.

當，恒成立，因為，所以

當，恒成立，因為，所以

綜上所述：實數的取值范圍為.