Question

【題目】已知拋物線（），過點（）的直線與交于、兩點.

（1）若，求證：是定值（是坐標原點）；

（2）若（是確定的常數），求證：直線過定點，并求出此定點坐標；

（3）若的斜率為1，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）定值為，證明見解析；（2）證明見解析；定點；（3）.

【解析】

（1）a時，設過點M的直線l為x＝ty，與拋物線方程聯立消去x，得關于y的一元二次方程，由根與系數的關系和數量積的坐標運算即可求出為定值；

（2）設出直線AB的方程為x＝ty+n，與拋物線方程聯立消去x，得關于y的一元二次方程，由根與系數的關系得出y1y2的值，再由題意列出方程求出n的值，即可得出直線AB過定點；

（3）由題意寫出直線AB的方程為y＝x﹣a，與拋物線方程聯立消去y，得關于x的一元二次方程，由根與系數的關系以及判別式△＞0，即可求出a的取值范圍．

解：（1）當a時，點M（，0），

設直線l：x＝ty，

由，消去x，得

y2﹣2pty﹣p2＝0，

所以y1y2＝﹣p2，

則x1x2；

x1x2+y1y2p2為定值；

（2）設直線AB：x＝ty+n，

由，消去x，得

y2﹣2pty﹣2pn＝0，

所以y1y2＝﹣2pn，

又y1y2＝m，則﹣2pn＝m，即n；

則直線AB過定點（，0）；

（3）由題意：直線AB的方程為：y＝x﹣a，

代入拋物線得：x2﹣2（a+p）x+a2＝0，

由△＝4（a+p）2﹣4a2＞0得：a；

x1+x2＝2（a+p），x1x2＝a2，

所以|AB||x1﹣x2|＝22p，

解得a；

所以a的取值范圍是（，]．