Question

【題目】已知數列、滿足：，，，．

（1）求，，，；

（2）求證：數列是等差數列，并求的通項公式；

（3）設，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），，，（2）證明見解析，（）（3）

【解析】

（1）根據已知條件求得與的遞推關系式，由此先求出，進而依次求得的值.

（2）由（1）中求得的與的遞推關系式，利用配湊法證得數列是等差數列，由此求得數列的通項公式，進而求得數列的通項公式.

（3）由（2）求得數列的通項公式，利用裂項求和法求得.

解法一：利用分離常數法化簡不等式，得到，利用數列的單調性證得，由此求得的取值范圍.

解法二：通過差比較法，化簡，對分類討論，結合二次函數的性質求得的取值范圍.

（1）由于，所以，

因為，所以，，，，．

（2），，

所以，，

所以，數列是以為首項，為公差的等差數列．

所以，，（）．

（3）因為，從而，

所以，

，

解法一：

所以，不等式化為，

即當時恒成立，

令，

則隨著的增大而減小，且恒成立．

故，所以，實數的取值范圍是．

解法二：

，

若不等式對任意恒成立，則當且僅當對任意恒成立．

設，由題意，，

當時，恒成立；

當時，函數圖像的對稱軸為，

在上單調遞減，即在上單調遞減，故只需即可，

由，得，所以當時，對恒成立．

綜上所述，實數的取值范圍是．