【題目】已知函數
．
（1）若
，求證：當
時，
；
（2）若函數
與函數
有兩個不同交點
其中
，證明：存在
，使得
在
處的切線斜率與
在
處的切線斜率相等.
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
（1）根據
，得
，
，用導數法研究其單調性，得
即可.
（2）根據函數
與函數
有兩個不同交點
，轉化為
在
上有兩個不同的根
，
，再假設存在
，使得
在
處的切線斜率與
在
處的切線斜率相等.轉化為
有解.令
，因為
，所以有兩個零點，一正一負，設正根為m，有
再證即可.
（1）因為，所以 ，
令，
所以
，
當
時，
，當
時，
，
所以當
時，
取最大值0.
所以.
即
.
（2）因為函數與函數有兩個不同交點，
所以在上有兩個不同的根，，
假設存在，使得在處的切線斜率與在處的切線斜率相等.
所以有解.
令，
因為，所以有兩個零點，一正一負，設正根為m，有
當
時，
，即
所以
在
上遞增，
當
時，
，即
所以在
上遞減，
因為在上有兩個不同的根，，
所以
，
，
即存在，使得在處的切線斜率與在處的切線斜率相等.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方體ABCD
中，以D為原點建立空間直角坐標系，E為B
的中點，F為
的中點，則下列向量中，能作為平面AEF的法向量的是( )
A. (1，－2，4) B. (－4,1，－2)
C. (2，－2，1) D. (1，2，－2)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》是中國古代的數學專著，其中的“更相減損術”原文是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也以等數約之”即（如果需要對分數進行約分，那么）可以折半的話，就折半（也就是用2來約分）．如果不可以折半的話，那么就比較分母和分子的大小，用大數減去小數，互相減來減去，一直到減數與差相等為止，用這個相等的數字來約分．如圖是“更相減損術”的程序框圖，如果輸入
，
，則輸出的
值是（ ）
A.72B.70C.34D.36
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，現有4種不同顏色給圖中5個區域涂色，要求任意兩個相鄰區域不同色，共有______種不同涂色方法；若要求4種顏色都用上且任意兩個相鄰區域不同色，共有______種不同涂色方法．（用數字作答）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數據如下表：
年 份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關于t的線性回歸方程；
(2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
＝
，
＝
－
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《漢字聽寫大會》不斷創收視新高，為了避免“書寫危機”，弘揚傳統文化，某市大約10萬名市民進行了漢字聽寫測試.現從某社區居民中隨機抽取50名市民的聽寫測試情況，發現被測試市民正確書寫漢字的個數全部在160到184之間，將測試結果按如下方式分成六組：第1組
，第2組
，…，第6組
，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（1）若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率；
（2）試估計該市市民正確書寫漢字的個數的眾數與中位數；
（3）已知第4組市民中有3名男性，組織方要從第4組中隨機抽取2名市同組成弘揚傳統文化宣傳隊，求至少有1名女性市民的概率.
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