Question

已知F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點，E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，點E在以AB為直徑的圓內，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（1，2）
• C、（1，1+

  2

  ）
• D、（2，+∞）

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,雙曲線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由右頂點在以AB為直徑的圓的內部，得|EF|＜|AF|，將其轉化為關于a、b、c的式子，再結合平方關系和離心率的公式，化簡整理得e²-e-2＞0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答： 解：由題意，直線AB方程為：x=-c，其中c=

a2+b2

因此，設A（-c，y₀），B（-c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解之y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵雙曲線的右頂點在以AB為直徑的圓內部
∴|EF|＜|AF|，即a+c＜

b2

a

，
將b²=c²-a²，并化簡整理，得2a²+ac-c²＜0
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＞0，解之得e＞2（舍負）
故選：D．

點評：本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當右頂點在此圓內時求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．