Question

【題目】(2017·金華調研)如圖，AB＝BE＝BC＝2AD＝2，且AB⊥BE，∠DAB＝60°，AD∥BC，BE⊥AD.

(1)求證：平面ADE⊥平面BDE；

(2)求直線AD與平面DCE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）

【解析】試題分析:(1)先根據平幾知識得AD⊥DB ，又BE⊥AD，得AD⊥平面BDE ，根據面面垂直判定定理得結論，(2)先根據等體積法V A-DCE=V E-ADC可得點A到平面DCE的距離，根據線面角定義得直線AD與平面DCE所成角的正弦值.

試題解析:(1)證明　∵AB＝2AD，∠DAB＝60°，∴AD⊥DB，

又BE⊥AD，且BD∩BE＝B，∴AD⊥平面BDE，

又AD平面ADE，∴平面ADE⊥平面BDE.

(2)解　∵BE⊥AD，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，

∴點E到平面ABCD的距離就是線段BE的長為2，

設AD與平面DCE所成角為θ，點A到平面DCE的距離為d，

由V三棱錐A－DCE＝V三棱錐E－ADC得×d×S△CDE＝×|BE|×S△ACD，解得d＝，

而AD＝1，則sin θ＝＝，

故直線AD與平面DCE所成角的正弦值為.