【題目】已知函數
.
（1）當
時，討論
的單調性；
（2）若有兩個不同零點
，
，證明：
且
.
【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）詳見解析.
【解析】
(1)求導后，令
得
或
，按照
與
的大小分三種情況討論即可得到答案；
(2)根據(1)知
時，函數的極小值大于0，因此函數
不可能有2個零點，故
，
所以
在
單調遞減，在
單調遞增，所以極小值
，可得
，再構造函數
，利用導數得到
在
上遞增，從而可得
時，
，設
，則
，所以
，所以
，所以
。
（1）
.
因為，由
得，或
.
i）
即
時，在
單調遞減，在
單調遞增，在單調遞減；
ii）
即
時，在
單調遞減；
iii）
即
時，在單調遞減，在
單調遞增，在
單調遞減.
（2）由（1）知，時，的極小值為
，
時，的極小值為
，
時，在
單調，
故時，至多有一個零點.
當時，易知在單調遞減，在單調遞增.
要使有兩個零點，則
，即
，得.
令
，（），則
，所以
在時單調遞增，
，
.
不妨設
，則，，
， 
.
由在
單調遞減得，，即.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校準備將
名同學全部分配到運動會的田徑、拔河和球類
個不同項目比賽做志愿者，每個項目至少
名，則不同的分配方案有________種（用數字作答）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，游客從某旅游景區的景點
處下上至
處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到
，然后從沿直線步行到．現有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿
勻速步行，速度為
．在甲出發
后，乙從乘纜車到，在處停留
后，再從勻速步行到，假設纜車勻速直線運動的速度為
，山路長為1260
，經測量
，
．
（1）求索道
的長；
（2）問：乙出發多少
后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過
，乙步行的速度應控制在什么范圍內？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題
①命題“若
，則
”的逆命題是真命題；
②若
，
，則
在
上的投影是
；
③在
的二項展開式中，有理項共有4項；
④已知一組正數
，
，
，
的方差為
，則數據
，
，
，
的平均數為4；
⑤復數
的共軛復數是
，則
.
其中真命題的個數為（ ）
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
，定義
為數列的一階差分數列，其中
．
（1）若
，試判斷是否是等差數列，并說明理由；
（2）若
，
，求數列的通項公式；
（3）對（2）中的數列，是否存在等差數列
，使得
對一切
都成立，若存在，求出數列的通項公式；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
；
（1）當
時，解不等式
；
（2）若
，且
在閉區間
上有實數解，求實數
的范圍；
（3）如果函數
的圖象過點
，且不等式
對任意
均成立，求實數
的取值集合．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數．
（1）證明：f′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直二面角α﹣l﹣β中，A∈α，B∈β，A，B都不在l上，AB與α所成角為x，AB與β所成角為y，AB與l所成角為z，則cos2x+cos2y+sin2z的值為（ ）
A.
B.2C.3D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】經市場調查，某商品每噸的價格為
萬元時，該商品的月供給量為
噸，
；月需求量為
噸，
，當該商品的需求量大于供給量時，銷售量等于供給量；當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量，該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積.
（1）已知
，若某月該商品的價格為x=7，求商品在該月的銷售額（精確到1元）；
（2）記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格，若該商品的均衡價格不低于每噸6萬元，求實數
的取值范圍.
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