Question

【題目】數列，定義為數列的一階差分數列，其中．

（1）若，試判斷是否是等差數列，并說明理由；

（2）若，，求數列的通項公式；

（3）對（2）中的數列，是否存在等差數列，使得對一切都成立，若存在，求出數列的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）是等差數列，理由見解析 （2） （3）存在，

【解析】

（1）求出的通項公式，即可得出結論；

（2）代入，可得出數列的遞推公式，求出，猜測，用數學歸納法證明；

（3）先求出，求出的通項公式，然后證明是否滿足條件.

解：（1）

.

所以是等差數列.

（2）∵，

∴，

∵，∴，，，

猜測：.

證明：（數學歸納法）

Ⅰ 時成立，

Ⅱ 假設成立，即，

那么時，

∴，

∴時也成立，

綜合ⅠⅡ對任意，都成立.

（3）時，，，

時，，，

若存在等差數列，使得對一切都成立，

只能.

下證符合要求

.

得證.