Question

【題目】若定義域為R的奇函數f（x）滿足f（1+x）=﹣f（x），則下列結論： ①f（x）的圖象關于點 對稱；
②f（x）的圖象關于直線 對稱；
③f（x）是周期函數，且2個它的一個周期；
④f（x）在區間（﹣1，1）上是單調函數．
其中正確結論的序號是 ． （填上你認為所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x）， ∴函數是以2為周期的周期函數，故③是正確的．
∵f（x）為定義域為R的奇函數，
∴f（x）函數圖象關于原點對稱，
∵f（x）為周期函數，周期為2且f（1+x）=﹣f（x），
∴f（x）函數圖象關于點（k，0）（k∈Z）對稱，故①不對．
∵f（1+x）=﹣f（x）
∴f（x+ ）=f（x﹣ +1）=﹣f（x﹣ ）=f（ ﹣x）
∴f（x）的圖象關于直線 對稱，故②正確．
f（x）在區間（﹣1，0）上和在（0，1）上均為單調函數，但在（﹣1，1）不是單調函數，故④不正確．
【考點精析】認真審題，首先需要了解奇偶性與單調性的綜合(奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性)．