Question

【題目】如圖四棱錐 中，四邊形 為平行四邊形， 為等邊三角形，AABE是以 為直角的等腰直角三角形，且 .

（1）證明: 平面 平面BCE；
（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）解：設O為BE的中點，連接AO與CO，因為ABCE為等邊三角形，AABE是以 為直角的等腰直角三角形，則 .故由二面角的平面角的定義可知 是二面角 的平面角，設 ,則 ，在 中，因為 ，所以 ，即 ，也即二面角 的平面角為 ，故由面面垂直的定義可知平面 平面BCE.

（2）解：由（1）可知 兩兩互相垂直，設OE的方向為x軸正方向，OE為單位長，以O為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系 .則

,所以

.設 是平面 的法向量，則 ,即 ,所以可取 ,設 是平面 的法向量，則 ,同理可取 ,則 ,所以二面角 的余弦值為 .

【解析】(1)根據題意作出輔助線，即可證明 A O ⊥ B E , C O ⊥ B E ，從而找出 ∠ A O C 是二面角 A B E C 的平面角，在 Δ A O C 中借助邊的關系以及勾股定理可得證 ∠ A O C = 900，即二面角 A B E C 的平面角為 900，故由面面垂直的定義可知平面 A B E ⊥ 平面BCE.(2)由已知根據題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面ADE和平面DEC的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式求出余弦值即可。

【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間向量的數量積運算的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；等于的長度與在的方向上的投影的乘積才能正確解答此題．