Question

【題目】某地方政府欲將一塊如圖所示的直角梯形ABCD空地改建為健身娛樂廣場，已知AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2 百米，AB=3百米，廣場入口P在AB上，且AP=2BP，根據規劃，過點P鋪設兩條互相垂直的筆直小路PM、PN（小路寬度不計），點M、N分別在邊AD、BC上（包含端點），△PAM區域擬建為跳舞健身廣場，△PBN區域擬建為兒童樂園，其他區域鋪設綠化草坪，設∠APM=θ．
（1）求綠化草坪面積的最大值；
（2）現擬將兩條小路PN、PN進行不同風格的美化，小路PM的美化費用為每百米1萬元，小路PN的美化費用為每百米2萬元，試確定點M，N的位置，使得小路PM，PN的總美化費用最低，并求出最低費用．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=3，AP=2BP，∴AP=2，BP=1．

在Rt△PMA中，由 ，得AM=2tanθ，

∴ ，

∵PM⊥PN，∴∠PNB=θ，

在Rt△PNB中，由 ，得 ，

所以 ，

又S梯形ABCD= （ +2 ）×3= ．

∴綠化草坪面積S= ﹣2tanθ﹣ ，

連結PC，PD，

則tanθ的最大值為 = ，tanθ的最小值為 ，

∴ ≤tanθ ，

設tanθ=t，f（t）=2t+ ，則f′（t）=2﹣ ，

∴當t∈[ ， ]時，f′（t）＞0，

∴f（t）在[ ， ]上單調遞增，

∴f（t）的最小值為f（ ）= ，

∴S的最大值為 ﹣ = ．

∴綠化草坪面積的最大值為 平方百米

（2）解：在Rt△PMA中，由 ，得 ，

在Rt△PNB中，由 ，得 ，

∴總美化費用為 ，由（1）可知θ∈[ ， ]，

令t=sinθ+cosθ= sin（θ+ ），則t∈[ ， ]， ，

∴ ， ，

∴ 在[ ， ]上單調遞減，

∴當t= 時，美化費用y取得最小值4 ．

∴當 ，即 時，即AM=2，BM=1時總美化費用最低為4 萬元．

【解析】（1）用θ表示出AM，BN，得出草坪面積S關于tanθ的函數，利用函數單調性求出最大值；（2）用θ表示出PM，PN，得出美化費用y關于θ的函數，利用換元法求出最小值．