Question

如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，
是的中點.側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角
三角形，有關數據如圖所示.
（Ⅰ）求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：EM∥平面ABC；
(Ⅲ) 試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面？若存在，確定點N的位置；
若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）4（2）見解析（3）邊DC上存在點N，滿足DN=DC時，有NM⊥平面BDE

由題意，Ea⊥平面ABC , DC⊥平面ABC ,AE∥DC,ae="2," dc="4" ,ab⊥ac,
且AB=AC=2
（Ⅰ）∵Ea⊥平面ABC，∴ea⊥ab, 又ab⊥ac,
∴ab⊥平面acde
∴四棱錐b-acde的高h=ab=2，梯形acde的面積S= 6
∴，即所求幾何體的體積為4
　                 ………………………………４分
（Ⅱ）證明：∵m為db的中點，取bc中點G，連接em,mG,aG，
 ∴ mG∥DC，且
∴ mG   ae，∴四邊形aGme為平行四邊形，
∴em∥aG,又AG平面ABC  ∴EM∥平面ABC.　　
……………………………………8分

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，em∥aG，
又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD
在平面BCD中，過M作MN⊥DB交DC于點N,
∴MN⊥平面BDE 點n即為所求的點
∽
 
∴邊DC上存在點N，滿足DN=DC時，有NM⊥平面BDE.　　
解法2：以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則 A（0，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0）
D（－2，0，4），E（0，0，2），M（-1，1，2），

（2，2，-4），（2，0，-2），
（0，0，-4），（1，1，-2）.
假設在DC邊上存在點N滿足題意，

∴邊DC上存在點N，滿足DN=DC時，NM⊥平面BDE.……………………12分