Question

如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構作：先在地平面內作菱形ABCD，邊長為1，∠BAD＝60°,再在的上方，分別以△與△為底面安裝上相同的正棱錐P－ABD與Q－CBD，∠APB＝90°．
（Ⅰ）求證：PQ⊥BD；
（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（Ⅲ）求點P到平面QBD的距離.

Answer 1

(1)證明見解析(2) (3)

（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐，可知△PBD與△QBD是全等等腰三角形 …１分
取BD中點E，連結PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，從而BD⊥PQ．  ………4分
（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角                    ……………………５分
作PM⊥平面，垂足為M，作QN⊥平面，垂足為N，則PM∥QN，M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，從而點A、M、E、N、C共線，PM與QN確定平面PACQ，且PMNQ為矩形． ……可得ME=NE=，PE=QE=，PQ=MN=…7分∴cos∠PEQ＝  ………9分
（Ⅲ）由（1）知BD⊥平面PEQ．設點P到平面QBD的距離為h，則
 ∴．
∴　．　　∴　．                             …………………………14分