Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F是棱
CD上的動點.
（I）試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（II）當⊥平面AB₁F時，求二面角C₁—EF—A的大小（結果用反三角函數值表示）.

Answer 1

（Ⅰ）當點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F.（Ⅱ）

本小題主要考查線面關系和正方體等基礎知識，考查空間想象能力和推理運算能力，滿分12分.
解法一：（I）連結A₁B，則A₁B是D₁E在面ABB₁A；內的射影
∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，
于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.
連結DE，則DE是D₁E在底面ABCD內的射影.
∴D₁E⊥AFDE⊥AF.
∵ABCD是正方形，E是BC的中點.
∴當且僅當F是CD的中點時，DE⊥AF，
即當點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F.…………6分
（II）當D₁E⊥平面AB₁F時，由（I）知點F是CD的中點.
又已知點E是BC的中點，連結EF，則EF∥BD. 連結AC，
設AC與EF交于點H，則CH⊥EF，連結C₁H，則CH是
C₁H在底面ABCD內的射影.
C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁—EF—C的平面角.
在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，
∴tan∠C₁HC=.
∴∠C₁HC=arctan，從而∠AHC₁=.
故二面角C₁—EF—A的大小為.
解法二：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
（1）設DF=x，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E，F（x，1，0）


（1）當D₁E⊥平面AB₁F時，F是CD的中點，又E是BC的中點，連結EF，則EF∥BD. 連結AC，設AC與EF交于點H，則AH⊥EF. 連結C₁H，則CH是C₁H在底面ABCD內的射影.
∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁—EF—A的平面角.