Question

【題目】設f（x）=ex﹣e﹣x﹣x．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）已知g（x）=x2f（x）+（x+1）[f（x）+（1﹣a）x]+（1﹣a）x3 ． 若對所有x≥0，都有g（x）≥0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex+e﹣x﹣1≥2 ﹣1=2﹣1=1＞0，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增．

（2）解：g（x）=x2f（x）+（x+1）[f（x）+（1﹣a）x]+（1﹣a）x3．

=（x2+x+1）f（x）+（1﹣a）[x3+x（x+1）]

=（x2+x+1）[f（x）+x（1﹣a）]，

顯然x2+x+1＞0，故若使g（x）≥0，只需要f（x）+x（1﹣a）=ex﹣e﹣x﹣ax≥0即可，

令h（x）=ex﹣e﹣x﹣ax，

∴h′（x）=ex+e﹣x﹣a≥2 ﹣a=2﹣a，

①當2﹣a≥0時，即a≤2時，h′（x）≥0恒成立，

∴h（x）在[0，+∞）上為增函數，

∴h（x）≥h（0）=0，

即g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，

②當a＞2時，則令h′（x）=0，即ex+e﹣x﹣a=0，可化為（ex）2﹣aex+1=0，

解得ex=

∴兩根x1=ln =ln ＜0，舍去，x2=ln ＞0，

從而h′（x）= = ，

當0＜x＜x2時，則 ，ex＜ ，

∴h′（x）＜0，

∴h（x）在[0，x2]為減函數，

又h（0）=0，

∴h（x2）＜0，

∴當a＞2時，h（x）≥0不恒成立，即g（x）≥0不恒成立，

綜上所述a的取值范圍為（﹣∞，2]．

【解析】（1）先求導，再根據基本不等式即可判斷f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，（2）先化簡g（x），再利用分析法，故若使g（x）≥0，只需要f（x）+x（1﹣a）=ex﹣e﹣x﹣ax≥0即可，構造函數h（x）=ex﹣e﹣x﹣ax，求導后，再分類討論，求出函數的最值，即可得到參數的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．