Question

【題目】已知動點M（x，y）到直線l：x=3的距離是它到點D（1，0）的距離的 倍．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）設軌跡C上一動點T滿足： =2λ +3μ ，其中P、Q是軌跡C上的點，且直線OP與OQ的斜率之積為﹣ ．若N（λ，μ）為一動點，F1（﹣ ，0）、F2（ ，0）為兩定點，求|NF1|+|NF2|的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x，y），則M到直線l的距離為|x﹣3|，MD= ，

∴|x﹣3|= ，化簡得 ，

∴動點M的軌跡C的方程為 ．

（2）解：設P（ cosα， sinα），Q（ cosβ， sinβ），

則kOP= ，kOQ= ，∴kOPkOQ= =﹣ ，

∴sinαsinβ+cosαcosβ=0，

∵ =2λ +3μ ，∴T（2 λcosα+3 μcosβ，2 λsinα+3 μsinβ），

∵T在曲線C 上，

∴2（2 λcosα+3 μcosβ）2+3（2 λsinα+3 μsinβ）2=6，

化簡得4λ2+9μ2=1，即 ，

∴N（λ，μ）點軌跡方程為 ，

F1（﹣ ，0）、F2（ ，0）為此橢圓的兩個焦點，

∴|NF1|+|NF2=2 =1．

【解析】（1）設M（x，y），用x，y表示出距離，列方程化簡即可；（2）設P（ cosα， sinα），Q（ cosβ， sinβ），表示出T點坐標，代入曲線C的方程化簡可得N的軌跡方程，利用橢圓的性質得出定值．