Question

【題目】在直角坐標系中，過點作直線交軸于A點、交軸于B點，且P位于AB兩點之間.

（1）若，求直線的方程；

（2）求當取得最小值時直線的方程；

（3）當面積最小值時的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

設直線可求出，．結合位于之間，建立關于的不等式，可得．

（1）由的坐標，得出向量和坐標，從而將化為關于的方程，解出值，即得直線的方程；

（2）由向量數量積的坐標運算公式，得出關于的表達式，再用基本不等式得到取得最小值時的斜率，從而得到直線的方程．

（3）求出，再利用基本不等式求最小值，從而得到等號成立的條件，即，由此能求出當面積最小值時的直線方程．

由題意知，直線的斜率存在且，

設，得令，得，所以，

再令，得，所以，

∵點位于兩點之間，∴且，解得．

∴，，

（1）∵，∴，解得．

∴直線的方程為，整理得．

（2）∵，∴，

當，即時，等號成立．

∴當取得最小值時直線的方程為，

化為一般式：．

（3）∵，，，

∴，

當時，即時，取等號，

∴當面積最小值時的直線方程為，即．