Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）若，求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若直線與曲線有兩個不同的交點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）普通方程為.直角坐標方程為;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據參普互化的公式，以及極坐標和直角坐標互化的公式得到結果；（Ⅱ）通過分析臨界情況，即直線和圓的相切的情況，進而得到滿足有2個交點是直線的傾斜角的范圍.

（Ⅰ）當時，直線的參數方程為.

所以其普通方程為.

對于曲線，由，得，

所以其直角坐標方程為.

（Ⅱ）由題意得，直線過定點，為其傾斜角，曲線：，表示以為圓心，以1為半徑的圓.

當時，直線為，此時直線與圓不相交.

當時，設表示直線的斜率，則：.

設圓心到直線的距離為.

當直線與圓相切時，令，解得或.

則當直線與圓有兩個不同的交點時，.

因為，由，可得，

即的取值范圍為.