【題目】已知某四面體的六條棱長分別為3，3，2，2，2，2，則兩條較長棱所在直線所成角的余弦值為（ ）
A. 0B. 
C. 0或D. 以上都不對
【答案】B
【解析】
當較長的兩條棱是四面體相對的棱時，根據三角形兩邊之和大于第三邊出現矛盾，得此種情況不存在；當它們是四面體相鄰的棱時，根據余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正確答案．
①當較長的兩條棱是四面體相對的棱時，
如圖，
取CD中點E，則
∵等腰△BCD中，中線BE⊥CD，等腰△ACD中，中線AE⊥CD，
AE、BE是平面ABE內的相交直線
∴CD⊥平面ABE，結合AB平面ABE，可得AB⊥CD
此時兩條較長棱所在直線所成角的余弦值為cos90°＝0，
檢驗：此時△ABE中，AE＝BE
，不滿足AE+BE＞AB，
故此種情況舍去；
②當較長的兩條棱是四面體相鄰的棱時，如圖
設所成的角為θ，根據余弦定理得cosθ
綜上所述，得所求余弦值為
故選B.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
.
（1）若
，求實數
的取值范圍；
（2）若存在
，使得
，求實數
的取值范圍；
（3）若
對于
恒成立，試問是否存在實數，使得
成立？若存在，求出實數的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近年來，我國自主研發的長征系列火箭的頻頻發射成功，標志著我國在該領域已逐步達到世界一流水平.火箭推進劑的質量為
，去除推進劑后的火箭有效載荷質量為
，火箭的飛行速度為
，初始速度為
，已知其關系式為齊奧爾科夫斯基公式：
，其中
是火箭發動機噴流相對火箭的速度，假設
，
，
，
是以
為底的自然對數，
，
.
（1）如果希望火箭飛行速度分別達到第一宇宙速度
、第二宇宙速度
、第三宇宙速度
時，求的值（精確到小數點后面1位）.
（2）如果希望達到，但火箭起飛質量最大值為
，請問的最小值為多少（精確到小數點后面1位）？由此指出其實際意義.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】哈師大附中高三學年統計甲、乙兩個班級一模數學分數(滿分150分),每個班級20名同學,現有甲、乙兩班本次考試數學分數如下列莖葉圖所示:
(I)根據基葉圖求甲、乙兩班同學數學分數的中位數,并將乙班同學的分數的頻率分布直方圖填充完整；
(Ⅱ)根據基葉圖比較在一模考試中，甲、乙兩班同學數學分數的平均水平和分數的分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)
(Ⅲ)若規定分數在
的成績為良好，分數在
的成績為優秀，現從甲、乙兩班成績為優秀的同學中，按照各班成績為優秀的同學人數占兩班總的優秀人數的比例分層抽樣,共選出12位同學參加數學提優培訓，求這12位同學中恰含甲、乙兩班所有140分以上的同學的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新個稅法于2019年1月1日進行實施.為了調查國企員工對新個稅法的滿意程度，研究人員在
地各個國企中隨機抽取了1000名員工進行調查，并將滿意程度以分數的形式統計成如下的頻率分布直方圖，其中
.
（1）求
的值并估計被調查的員工的滿意程度的中位數；（計算結果保留兩位小數）
（2）若按照分層抽樣從
，
中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，求至少有1人的分數在的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
與直線
交于
不同兩點分別過點
、點
作拋物線
的切線，所得的兩條切線相交于點
.
(Ⅰ)求證
為定值:
(Ⅱ)求
的面積的最小值及此時的直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
，且
）.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）求函數
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的單調增區間為
，單調減區間為
.（Ⅱ）當
時， 
；當
時， 
.
【解析】【試題分析】(I)利用
的二階導數來研究求得函數
的單調區間.(II) 由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，由此可知
.利用導數和對
分類討論求得函數在
不同取值時的最大值.
【試題解析】
（Ⅰ）
，
設
，則
.
∵
， 
，∴
在
上單調遞增，
從而得
在
上單調遞增，又∵
，
∴當
時， 
，當
時， 
，
因此， 
的單調增區間為
，單調減區間為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
設
，
則
.
∵當
時， 
，∴
在
上單調遞增.
又∵
，∴當
時， 
；當
時， 
.
①當
時， 
，即
，這時， 
；
②當
時， 
，即
，這時， 
.
綜上， 
在
上的最大值為：當
時， 
；
當
時， 
.
[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題，往往利用導數研究函數的單調區間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數的大致圖像，討論其圖象與
軸的位置關系，進而確定參數的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題．
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，圓
的普通方程為
. 在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ） 寫出圓 的參數方程和直線的直角坐標方程；
（ Ⅱ ） 設直線 與軸和
軸的交點分別為
，
為圓上的任意一點，求
的取值范圍.
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