Question

【題目】已知函數，.

（1）若，求實數的取值范圍；

（2）若存在，使得，求實數的取值范圍；

（3）若對于恒成立，試問是否存在實數，使得成立？若存在，求出實數的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）不存在實數，使得成立.

【解析】

（1）由可得，根據指數函數的單調性可得，從而可得結果；

（2）設函數，在區間上的值域分別為，，存在，使得，等價于，根據單調性求出兩個函數的值域，利用交集的定義列不等式求解即可；（3）由對于恒成立，可得，且，結合函數的單調性可得，，從而可得結果.

（1）即，∴，∴.

（2）設函數，在區間上的值域分別為，，

因為存在，使得，

所以，

∵在上為增函數，∴，

∵，，∴，∴.

∴即.

（3）∵對于恒成立，

∴，，且.

∵為增函數，且時，，∴.

∴，

∴不存在實數，使得成立.