Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點．

（1）求證：EF∥平面CB1D1；
（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD．

在正方體AC1中，對角線BD∥B1D1．

又因為E、F為棱AD、AB的中點，

所以EF∥BD．

所以EF∥B1D1．

又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，

所以EF∥平面CB1D1．

（2）證明：因為在正方體AC1中，

AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，

所以AA1⊥B1D1．

又因為在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

所以B1D1⊥平面CAA1C1．

又因為B1D1平面CB1D1，

所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

【解析】（1）欲證EF∥平面CB1D1 ， 根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面CB1D1內一直線平行，連接BD，根據中位線可知EF∥BD，則EF∥B1D1 ， 又B1D1平面CB1D1 ， EF平面CB1D1 ， 滿足定理所需條件；（2）欲證平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ， 根據面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1內一直線與平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1 ， B1D1平面A1B1C1D1 ， 則AA1⊥B1D1 ， A1C1⊥B1D1 ， 滿足線面垂直的判定定理則B1D1⊥平面CAA1C1 ， 而B1D1平面CB1D1 ， 滿足定理所需條件．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．