Question

【題目】已知函數為偶函數，且函數圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.

（1）求的值；

（2）求函數的對稱軸方程；

（3）當時，方程有兩個不同的實根，求m的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) .(2) ;(3)

【解析】

（1）根據題意求出φ、ω的值，寫出f（x）的解析式，計算的值；（2）由f（x）寫出函數的解析式，求出對稱軸方程；（3）若f（x）=m有兩個不同的實根，則函數y=f（x）與y=m有兩個不同的交點，令t=2x, ,則的圖像與有兩個不同交點即可求結果.

解：（1）是偶函數，則φ﹣=+kπ（k∈Z），

解得φ=+kπ（k∈Z），

又因為0＜φ＜π，所以φ=，

所以=2cosωx；

由題意得=2，所以ω=2；

故f（x）=2cos 2x，

因此=2cos =；

（2）由f（x）=2cos 2x，

得=，

所以，，

即，

所以函數的對稱軸方程為；

（3）若f（x）=m有兩個不同的實根，則函數y=f（x）與y=m有兩個不同的交點，函數y=f（x）=2cos 2x，令t=2x, ,則的圖像與有兩個不同交點，由圖像知

即m的取值范圍是．