Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]

已知函數f（x）=|ax﹣2|．
（Ⅰ）當a=2時，解不等式f（x）＞x+1；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）+f（﹣x）＜ 有實數解，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=2時，不等式為：|2x﹣2|＞x+1，
當x≥1時，不等式化為：2x﹣2＞x+1，解得x＞3
當x＜1時，不等式化為：2﹣2x＞x+1，解得
綜上所述，解集為 ；
（II）因為f（x）+f（﹣x）=|ax﹣2|+|﹣ax﹣2|≥|ax﹣2﹣ax﹣2|=4
所以f（x）+f（﹣x）的最小值為4，
因為f（x）+f（﹣x）＜ 有實數解，
所以
【解析】（Ⅰ）把a=2代入不等式化簡后，對x分類討論，分別去掉絕對值求出每個不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求出f（x）+f（﹣x）的最小值，結合題意列出不等式，求出實數m的范圍．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．